Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A為上端點，P為橢圓上任一點（與左、右頂點不重合）．
（1）若AF₁⊥AF₂，求橢圓的離心率；
（2）若P（-4，3）且

PF1

•

PF2

=0，求橢圓方程；
（3）若存在一點P使∠F₁PF₂為鈍角，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由AF₁⊥AF₂，據(jù)對稱性，△F₁AF₂為等腰直角三角形，即AO=OF₂，從而得到b=c，結(jié)合a²=b²+c²
可求橢圓的離心率；
（2）由點的坐標求得

PF1

，

PF2

的坐標，代入

PF1

•

PF2

=0求得c的值，再由P（-4，3）在橢圓上聯(lián)立方程組求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（3）由∠F₁PF₂為鈍角，得到

PF1

•

PF2

＜0有解，轉(zhuǎn)化為c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得橢圓離心率的取值范圍．

解答： 解：（1）如圖，若AF₁⊥AF₂，據(jù)對稱性，△F₁AF₂為等腰直角三角形，即AO=OF₂，即b=c，
故e=

c

a

=

c

b2+c2

=

2

2

；
（2）設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則有

PF1

=(-c+4，-3)，

PF2

=(c+4，-3)，
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴（4-c）（4+c）+9=0，即c²=25，
又

16 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a2=40 b2=15

，
即橢圓方程為

x2

40

+

y2

15

=1；
（3）設P（x₀，y₀），則|x₀|＜a，即0≤x02＜a2，
又∠F₁PF₂∈（0，π）．
若∠F₁PF₂為鈍角，當且僅當

PF1

•

PF2

＜0有解，
即c2＞x02+y02有解，即c2＞(x02+y02)min．
又

x02

a2

+

y02

b2

=1，
∴y02=b2-

b2

a2

x02，
∴x02+y02=b2+

c2

a2

x02∈[b2，a2)，
即(x02+y02)min=b2．
故c²＞b²，c²＞a²-c²，
∴

c2

a2

＞

1

2

，即e＞

2

2

，
又0＜e＜1，
∴

2

2

e＜1．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了平面向量數(shù)量積在解題中的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關鍵在于把存在一點P使∠F₁PF₂為鈍角轉(zhuǎn)化為

PF1

•

PF2

＜0有解，是壓軸題．