Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面PAB，AD∥BC，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PD的中點．
（Ⅰ）求證：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：PD⊥平面CEF；
（Ⅲ）寫出三棱錐D-CEF與三棱錐P-ABD的體積之比．（結(jié)論不要求證明）

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出四邊形ABCE為平行四邊形，從而CE∥AB，由此能證明CE∥平面PAB．
（Ⅱ）推導出EF∥PA，則PD⊥AB，PD⊥PA，從而PD⊥EF，由CE∥AB，得PD⊥CE，由此能證明PD⊥平面CEF．
（Ⅲ）由三棱錐的體積公式能求出三棱錐D-CEF與三棱錐P-ABD的體積之比．

解答 證明：（Ⅰ）∵BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}AD$，E為AD中點，
∴AE∥BC，且AE=BC，
∴四邊形ABCE為平行四邊形，
∴CE∥AB，
又AB?平面PAB，CE?平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
（Ⅱ）∵E、F分別為AD、PD的中點，∴EF∥PA，
又∵PD⊥平面PAB，PA，AB?平面PAB，
∴PD⊥AB，PD⊥PA，∴PD⊥EF，
又CE∥AB，∴PD⊥CE，
∵EF∩CE=E，
∴PD⊥平面CEF．
解：（Ⅲ）三棱錐D-CEF與三棱錐P-ABD的體積之比為：
$\frac{{V}_{D-CEF}}{{V}_{P-ABD}}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查兩個三棱錐的體積之比的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．