(2013•青島一模)若任意直線l過點(diǎn)F(0,1),且與函數(shù)f(x)=
1
4
x2
的圖象C于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B過點(diǎn)A,BC,兩切線交于點(diǎn)M
(Ⅰ)證明:點(diǎn)M縱坐標(biāo)是一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x),g(x)=alnx(a>0),求實(shí)數(shù)a取值范圍;
(Ⅲ)求證:
2ln2
22
+
2ln3
32
+
2ln4
42
+…+
2ln
n2
n-1
e
,(其中e自然對(duì)數(shù)的底數(shù),n≥2,n∈N).
分析:(Ⅰ)設(shè)AB:y=kx+1,與拋物線方程聯(lián)立,求出x1x2,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推出AM,BM的斜率,得到它們的方程,然后求出點(diǎn)M縱坐標(biāo)是一個(gè)定值即可;
(Ⅱ)構(gòu)造F(x)=f(x)-g(x),求出函數(shù)的最小值,利用不等式f(x)≥g(x),說(shuō)明F(x)的最小值大于等于0,即可求實(shí)數(shù)a取值范圍;
(Ⅲ)利用(Ⅱ):取a=
e
2
,則有
1
4
x2
e
2
lnx
,代入x=2,3,4,…,n,即可求證:
2ln2
22
+
2ln3
32
+
2ln4
42
+…+
2ln
n2
n-1
e
,(其中e自然對(duì)數(shù)的底數(shù),n≥2,n∈N).
解答:(本小題滿分13分)
證明:(Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知AB的斜率必存在,設(shè)AB:y=kx+1,
將其代入y=
1
4
x2
得:x2-4kx-4=0,∴x1x2=-4…(2分)
f(x)=
1
4
x2,f′(x)=
1
2
x
,∴kAM=
x1
2
,kBM=
x2
2
,
AM:y-
1
4
x12=
x1
2
(x-x1)
,化簡(jiǎn)得:AM:y=
x1
2
x-
x12
4
…①
同理:BM:y=
x2
2
x-
x22
4
,…②
由①②消去x得:y=
x 1x2
4
=-1
…(5分)
(Ⅱ)令F(x)=f(x)-g(x)=
1
4
x2-alnx
,(a>0,x>0),
∴F′(x)=
x
2
-
a
x
=
x2-2a
2x

令 F′(x)=0 得x=
2a
,
當(dāng)x∈(0,
2a
)時(shí)F′(x)<0,F(xiàn)(x)在x∈(0,
2a
)上單調(diào)遞減; 
當(dāng)x∈(
2a
,+∞)時(shí)F′(x)>0,F(xiàn)(x)在x∈(
2a
,+∞)上單調(diào)遞增;
∴F(x)在x=
2a
時(shí)取得最小值,…(7分)
要使f(x)≥g(x)恒成立,只需F(
2a
)≥0
即 
a
2
-aln
2a
≥0
,解得a≤
e
2
,又a>0,∴0<a≤
e
2
…(9分)
(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ):取a=
e
2
,則有
1
4
x2
e
2
lnx
,化簡(jiǎn)得:
2
x2
lnx≤
1
e
  …(11分)
分別令x=2,3,4,…,n,得:
2
22
ln2≤
1
e
,
2
32
ln3≤
1
e
,…,
2
n2
lnn≤
1
e

相加:
2ln2
22
+
2ln3
32
+
2ln4
42
+…+
2ln
n2
n-1
e
…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,利用函數(shù)的最值證明不等式,直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)與計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•青島一模)下列函數(shù)中周期為π且為偶函數(shù)的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•青島一模)“k=
2
”是“直線x-y+k=0與圓“x2+y2=1相切”的( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•青島一模)函數(shù)y=21-x的大致圖象為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•青島一模)已知x,y滿足約束條件
x2+y2≤4
x-y+2≥0
y≥0
,則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最大值是
4
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•青島一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),動(dòng)點(diǎn)C滿足:△ABC的周長(zhǎng)為2+2
2
,記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)曲線W上是否存在這樣的點(diǎn)P:它到直線x=-1的距離恰好等于它到點(diǎn)B的距離?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)設(shè)E曲線W上的一動(dòng)點(diǎn),M(0,m),(m>0),求E和M兩點(diǎn)之間的最大距離.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案