Question

【題目】定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數(shù)列，對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”．

（1）已知是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍；

（2）已知數(shù)列的首項為2010，是數(shù)列的前n項和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題得，解不等式即得解；

（2）先求出，再證明.

（1）顯然對任意正整數(shù)都成立，

即是三角形數(shù)列．

因為，顯然有，

由得，

解得．因為，

所以當時，是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”.

（2）由得，

兩式相減得．

所以，因為

所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列.

所以．

顯然，

因為，

所以是“三角形”數(shù)列.