Question

【題目】函數f（x）= 是定義在區(qū)間（﹣1，1）上的奇函數，且f（2）= ，
（1）確定函數f（x）的解析式；
（2）用定義法證明f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= 是定義在區(qū)間（﹣1，1）上的奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ =﹣ ，

∴b=﹣b，

∴b=0

又∵f（2）= = ，

∴a=1，

∴函數f（x）=

（2）解：證法一：設任意﹣1＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）= ﹣

=

∴f（x1）＜f（x2）

∴f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數

證法二：∵函數f（x）= ，

∴f′（x）= ，

當x∈（﹣1，1）時，

f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數

（3）解：由題意知f（t﹣1）+f（t）＜0

∴f（t﹣1）＜﹣f（t）

∴f（t﹣1）＜f（﹣t）

∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1

∴0＜t＜

【解析】（1）由函數f（x）= 是定義在區(qū)間（﹣1，1）上的奇函數，且f（2）= ，求出a，b的值，可得函數f（x）的解析式；（2）證法一：設任意﹣1＜x1＜x2＜1，求出f（x1）﹣f（x2），并判斷符號，進而根據函數單調性的定義得到f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數；證法二：求導，并分析出當x∈（﹣1，1）時，f′（x）＞0恒成立，進而得到f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數（3）不等式f（t﹣1）+f（t）＜0可化為：﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對利用導數研究函數的單調性的理解，了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減．