Question

17．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知2c-a=$\frac{bcosA}{cosB}$，b=$\sqrt{3}$
（1）求角B；
（2）求c+2a的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知，整理可得：2sinCcosB=sin（A+B）=sinC，由sinC≠0，解得cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍B∈（0，π），可得B的值．
（2）由（1）及正弦定理可得c=2sinC，a=2sinA，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得c+2a=2$\sqrt{7}$sin（A+φ），其中tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得c+2a的最大值．

解答 解：（1）∵2c-a=$\frac{bcosA}{cosB}$，
∴由正弦定理可得：cosB（2sinC-sinA）=sinBcosA，
整理可得：2sinCcosB=sin（A+B）=sinC，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴解得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∴由B∈（0，π），可得B=60°．
   （2）∵由（1）及正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{sin60°}=2$，
∴c+2a=2sinC+4sinA=2sin（120°-A）+sinA
=$\sqrt{3}$cosA+5sinA=2$\sqrt{7}$sin（A+φ），其中tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得c+2a的最大值為$2\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．