分析 由4(n+1)(Sn+1)=(n+2)2an,推導(dǎo)出a1=8,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$(\frac{n+1}{n})^{3}$,由此利用累乘法能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解答 解:∵4(n+1)(Sn+1)=(n+2)2an,
∴Sn+1=$\frac{(n+2)^{2}{a}_{n}}{4(n+1)}$,①
當(dāng)n=1時(shí),${a}_{1}+1=\frac{(1+2)^{2}{a}_{1}}{4(1+1)}$,解得a1=8.
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1+1=$\frac{(n+1)^{2}{a}_{n-1}}{4n}$,②
①-②,得an=$\frac{(n+2)^{2}{a}_{n}}{4(n+1)}-\frac{(n+1)^{2}{a}_{n-1}}{4n}$,
∴4n(n+1)an=n(n+2)22an-(n+1)3an-1,
n[(n+2)2-4(n+1)]an=(n+1)3an-1,
n3an=(n+1)3an-1,
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$(\frac{n+1}{n})^{3}$(n≥2),
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$8×(\frac{3}{2})^{3}×(\frac{4}{3})^{3}×…×(\frac{n+1}{n})^{3}$
=(n+1)3.
故答案為:(n+1)3.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意構(gòu)造法、累乘法的合理運(yùn)用.
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成績(jī)(分) | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 90 | 100 |
次數(shù)(人) | 2 | 3 | 5 | x | 6 | y | 3 | 4 |
A. | 33 | B. | 50 | C. | 69 | D. | 90 |
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A. | (-∞,-3) | B. | (-∞,1) | C. | (-3,1) | D. | (-1,1) |
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A. | π | B. | $\frac{2}{3}$π | C. | $\frac{5}{6}$π | D. | $\frac{3}{4}$π |
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