Question

12．如圖，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分別為AB，CB的中點(diǎn)，M為底面△OBF的重心．
（Ⅰ）求證：PM∥平面AFC；
（Ⅱ）求直線AC與平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)OM并延長(zhǎng)交BF于H，連結(jié)OP，PH．則由中位線定理得出OP∥AC，PH∥CF，故而平面OPH∥平面AFC，于是有PM∥平面AFC；
（II）取CD的中點(diǎn)G，EF的中點(diǎn)N，連接OG，ON．則ON，OB，OG兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{AC}$和平面CEF的法向量$\overrightarrow{n}$，則直線AC與平面CEF所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 解：（Ⅰ）連結(jié)OM并延長(zhǎng)交BF于H，連結(jié)OP，PH．
∵M(jìn)為△OBF的重心，∴H為BF的中點(diǎn)，又P為BC的中點(diǎn)，O為AB的中心，
∴PH∥CF，OP∥AC，
又∵CF?平面AFC，AC?平面AFC，OP∩PH=P，OP?平面OPH，PH?平面OPH，OP∩PH=P，
∴平面OPH∥平面AFC，又∵PM?平面OPH，
∴PM∥AFC．
（Ⅱ）取CD的中點(diǎn)G，EF的中點(diǎn)N，連接OG，ON．
∵四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF是等腰梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，
∴ON，OB，OG兩兩垂直．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)N，OB，OG為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示：
則A（0，-1，0），C（0，1，1），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（0，2，1），$\overrightarrow{FE}$=（0，1，0），$\overrightarrow{FC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，1）．
設(shè)平面CEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y+z=0}\end{array}\right.$．令x=2則$\overrightarrow{n}$=（2，0，$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$．
∴直線AC與平面CEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，空間向量的應(yīng)用與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．