Question

15．如圖，拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點為$（0，\frac{1}{4}）$，圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切．
（Ⅰ）求拋物線E及圓M的方程；
（Ⅱ）過P（1，0）作兩條相互垂直的直線，與拋物線E相交于A，B兩點，與圓M相交于C，D兩點，N為線段CD的中點，當${S_{△NAB}}=\frac{3}{2}$，求AB所在的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點為$（0，\frac{1}{4}）$，圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切，即可求拋物線E及圓M的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$⇒x²-kx+k=0$⇒\left\{\begin{array}{l}△={k^2}-4k＞0\\{x_A}+{x_B}=k\\{x_A}•{x_B}=k\end{array}\right.$，又與直線AB垂直的直線CD與圓M相交，可得k的范圍，利用${S_{△NAB}}=\frac{3}{2}$，求出k，即可求AB所在的直線方程．

解答 解：（Ⅰ）拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點為$（0，\frac{1}{4}）$，∴p=$\frac{1}{2}$，∴拋物線E：y=x²，…（3分）
∵圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切，
∴圓M的方程：（x-1）²+（y-2）²=1； …（6分）
（Ⅱ）設(shè)直線AB的斜率為k（k顯然存在且不為零）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$⇒x²-kx+k=0$⇒\left\{\begin{array}{l}△={k^2}-4k＞0\\{x_A}+{x_B}=k\\{x_A}•{x_B}=k\end{array}\right.$…（8分）
又與直線AB垂直的直線CD與圓M相交，
則$-\frac{1}{k}∈（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞）$即$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜k＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，而k²-4k＞0，故$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜k＜0$.${S_{△NAB}}=\frac{1}{2}|AB|•|NP|=\frac{1}{2}|AB|•d$（其中d表示圓心M到直線AB的距離）
=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{k^2}-4k}•\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{{k^2}-4k}$…（12分）
又${S_{△NAB}}=\frac{3}{2}$，所以${k^2}-4k=\frac{9}{4}$，解得$k=-\frac{1}{2}$或$k=\frac{9}{2}$（舍）
所以AB所在的直線方程為：$y=-\frac{1}{2}（x-1）$即$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$．…（15分）

點評 本題考查拋物線E及圓M的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．