Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直線l：x+y-1=0與C相交于A，B兩點．
（Ⅰ）證明：線段AB的中點為定點，并求出該定點坐標；
（Ⅱ）設(shè)M（1，0），$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{BM}$，當$a∈（{\frac{{\sqrt{7}}}{2}，\sqrt{3}}）$時，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由離心率得a²=3b²．，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}-3{b^2}=0\\ x+y-1=0\end{array}\right.$，得4x²-6x+3（1-b²）=0，由此利用韋達定理能證明線段AB的中點為定點，并能求出該定點坐標．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{BM}$，得x₁-1=λ（1-x₂），從而$λ+\frac{1}{λ}=\frac{1}{{3{b^2}-1}}+2$，由此能求出實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 由離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，得a²=3b²． …（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}-3{b^2}=0\\ x+y-1=0\end{array}\right.$，消去y得4x²-6x+3（1-b²）=0
故${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3（{1-{b^2}}）}}{4}$，…（4分）
所以$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{3}{4}$，$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=1-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{1}{4}$．
故線段AB的中點為定點$（{\frac{3}{4}，\frac{1}{4}}）$． …（6分）
（Ⅱ）M（1，0），$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{BM}$，得x₁-1=λ（1-x₂）．…（8分）
結(jié)合${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}$解得${x_2}=\frac{{λ-\frac{1}{2}}}{λ-1}$，${x_1}=\frac{λ-2}{2（λ-1）}$．
由${x_1}{x_2}=\frac{{3（{1-{b^2}}）}}{4}$得$λ+\frac{1}{λ}=\frac{1}{{3{b^2}-1}}+2$．…（10分）
因為$a∈（{\frac{{\sqrt{7}}}{2}，\sqrt{3}}）$，故${b^2}∈（{\frac{7}{12}，1}）$，…（12分）
從而$λ+\frac{1}{λ}=\frac{1}{{3{b^2}-1}}+2∈（{\frac{5}{2}，\frac{10}{3}}）$． …（13分）
解得$λ∈（{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）∪（{2，3}）$．  …（15分）

點評 本題考查線段的中點為定點的證明，考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．