Question

3．設(shè)集合A是實(shí)數(shù)集R的子集，如果x₀∈R滿足：對(duì)任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x-x₀|＜a，則稱x₀為集合A的聚點(diǎn)，給出下列集合（其中e為自然對(duì)數(shù)的底）：①{1+$\frac{1}{x}$|x＞0}；②{2^x|x∈N}；③{x²+x+2|x∈R}；④{lnx|x＞0且x≠e}，其中，以1為聚點(diǎn)的集合有（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③④
• D． ①④

Answer 1

分析 由已知中關(guān)于集合聚點(diǎn)的定義，我們逐一分析四個(gè)集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點(diǎn)的定義，進(jìn)而得到答案．

解答 解：①{1+$\frac{1}{x}$|x＞0}中的元素構(gòu)成以1為極限的數(shù)列，故對(duì)任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x-1|＜a成立，符合題意；
②{2^x|x∈N}，y=2^x是單調(diào)增函數(shù)，對(duì)任意a＞0，不存在x∈A，使得0＜|x-1|＜a，不符合題意；
③{x²+x+2|x∈R}，∵x²+x+2≥$\frac{7}{4}$，對(duì)任意a＞0，不存在x∈A，使得0＜|x-1|＜a，不符合題意；
④{lnx|x＞0且x≠e}，lnx≠1，滿足：對(duì)任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x-1|＜a，故此集合以1為聚點(diǎn)符合題意，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解新定義--集合的聚點(diǎn)的含義，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．