Question

【題目】已知橢圓，與軸的正半軸交于點(diǎn)，右焦點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)任意作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率，若，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）tan∠PFO=可得=，c=b，a==b即可得出（2）直線斜率不為0時(shí)，設(shè)出直線方程ty=x﹣1，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）．聯(lián)立，化為：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，∵k1+k2=2，∴+=2，根據(jù)韋達(dá)定理代入求解即可，斜率為0 時(shí)也成立

試題解析：

（1）∵tan∠PFO=，∴=，∴c=b，a==b．

∴==．

（2）直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：ty=x﹣1．設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）．

聯(lián)立，化為：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，

y1+y2=，y1y2=，

∵k1+k2=2，∴+=2，

化為：（y1﹣2）（ty2﹣2）+（y2﹣2）（ty1﹣2）=2（ty1﹣2）（ty2﹣2），

即：ty1y2=y1+y2，

∴t=，對(duì)t∈R都成立．

化為：b2=1，

直線l的斜率為0時(shí)也成立，

∴b2=1，

∴橢圓C的方程為．