Question

已知定圓x²+y²=r²內(nèi)一點(diǎn)C（a，b），過C作兩相互垂直的直線交圓于A、B，作長方形ACBP，求P點(diǎn)軌跡方程

 

．

Answer 1

分析：由題意畫出圖形，設(shè)出長方形ACBP兩條對角線的交點(diǎn)坐標(biāo)Q，以Q為媒介，找到等式關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式替換為P的坐標(biāo)，則P點(diǎn)軌跡方程可求．

解答：解：如圖：
設(shè)AB與CP交于點(diǎn)Q，且Q為AB中點(diǎn)，
∴|OA|²=|OQ|²+|QA|²=|OQ|²+|QC|²，
再設(shè)Q（x_Q，y_Q），P（x_P，y_P），
∴(

x

2 Q

+y

2 Q

)+(xQ-c)2+(yQ-b)2=r2，
而yQ=

yp+b

2

，xQ=

xp+a

2

代入上式化簡得：

x

2 P

+y

2 P

=2r2-a2-b2，
即P點(diǎn)軌跡方程為：x²+y²=2r²-a²-b²．
故答案為：x²+y²=2r²-a²-b²．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程的求法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了代入法，解答該題的關(guān)鍵是利用平面幾何知識尋找關(guān)系，是中檔題．