Question

已知兩定點E(－，0) ，F(，0)，動點P滿足·＝0，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點M滿足＝，點M的軌跡為C.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）若直線l交曲線C于A、B兩點，且坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，求|AB|的最大值及對應(yīng)的直線l的方程.

Answer 1

解：

（Ⅰ）∵動點P滿足·＝0，   ∴點P的軌跡方程為x²＋y²＝2．

設(shè)M(x，y)，依題意可得P(x，y)

代入P滿足的方程可得x²＋(y)²＝2，即曲線C：＋y²＝1．…………………4分

（Ⅱ）①若直線l垂直于x軸，此時|AB|＝．     ……………………………5分

②若直線l不垂直于x軸，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，

則原點O到直線l的距離為＝，整理可得2m²＝1＋k²．

…………………………………………6分

由消去y可得(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0．

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由題意可得△＞0，

則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝．

∴|AB|＝·＝2·

……………………………………8分

∵2m²＝1＋k²，

∴2 (1＋k²)(1＋2k²－m²)＝(1＋k²)(2＋4k²－2m²)＝(1＋k²)(1＋3k²) ≤(1＋2k²) ²，

等號當(dāng)且僅當(dāng)1＋k²＝1＋3k²，即k＝0時成立．

即2·≤2，

所以k＝0時，|AB|取得最大值2.

此時直線l的方程為y＝±.