Question

已知函數f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）
（1）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性；
（2）方程f（x）=0是否有負根數？證明你的結論．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求f′（x），a＞1時判斷f′（x）的符號，即可判斷出f（x）在（1，+∞）上的單調性；
（2）f（x）=0是否有負數根，即看函數a^x和

x-2

x+1

交點的橫坐標是否為負，所以通過畫圖即可得出結論．

解答： 解：（1）∵a＞1，∴f′（x）=axlna+

3

(x+1)2

＞0；
∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增；
（2）

x-2

x+1

=1-

3

x+1

；
∴由f（x）=0得，ax=

3

x+1

-1；
∴函數a^x與

3

x+1

-1圖象交點的橫坐標即是上面方程的解，而

3

x+1

-1的圖象是由

3

x

的圖象沿x軸向左平移一個單位，向上平移一個單位得到，所以圖象如下所示：
由圖象可看出a^x與

3

x+1

-1圖象交點的橫坐標大于0；
即方程f（x）=0沒有負數根．

點評：考查根據函數導數符號判斷函數單調性的方法，指數函數的單調性，以及指數函數的圖象，反比例函數的圖象，圖象平移的知識．