Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）
（1）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）方程f（x）=0是否有負(fù)根數(shù)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x），a＞1時判斷f′（x）的符號，即可判斷出f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）f（x）=0是否有負(fù)數(shù)根，即看函數(shù)a^x和

x-2

x+1

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否為負(fù)，所以通過畫圖即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a＞1，∴f′（x）=axlna+

3

(x+1)2

＞0；
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）

x-2

x+1

=1-

3

x+1

；
∴由f（x）=0得，ax=

3

x+1

-1；
∴函數(shù)a^x與

3

x+1

-1圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是上面方程的解，而

3

x+1

-1的圖象是由

3

x

的圖象沿x軸向左平移一個單位，向上平移一個單位得到，所以圖象如下所示：
由圖象可看出a^x與

3

x+1

-1圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0；
即方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

點(diǎn)評：考查根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及指數(shù)函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，圖象平移的知識．