【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,過(guò)點(diǎn)的平行線交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的軌跡為.

(Ⅰ)求曲線的方程;

(Ⅱ)已知直線與圓相切于點(diǎn),且與曲線相交于,兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,求三角形面積的最大值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)由題意知,可知軌跡為橢圓,寫出方程即可(Ⅱ)直線的斜率存在且不為0,利用直線與圓相切得,聯(lián)立直線與橢圓,利用根與系數(shù)關(guān)系寫出PQ中點(diǎn)N坐標(biāo)寫出PQ中垂線方程,利用圓心到直線的距離求出,化簡(jiǎn)求其最值,代入三角形面積公式即可求解.

(Ⅰ)因?yàn)?/span>,

,

所以,

,

由題設(shè)得,由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為:.

(Ⅱ)由題意,直線的斜率存在且不為0,

設(shè)直線的方程為,

因?yàn)橹本與圓相切,

所以,∴,

消去.

設(shè),由韋達(dá)定理知:

.

所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為

所以弦的垂直平分線方程為,

.

所以.

代入

(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào)).

所以三角形的面積為,

綜上所述,三角形的面積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)(在第一象限),以為直徑的圓分別與軸相切于兩點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(

A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.

C.為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),,則D.

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【題目】如圖,在三棱錐中,,,,,

(1)若的中點(diǎn),證明:平面

(2)求二面角的余弦值.

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【題目】研究機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生往返校時(shí)間的統(tǒng)計(jì)資料表明:該校學(xué)生居住地到學(xué)校的距離(單位:千米)和學(xué)生花費(fèi)在上學(xué)路上的時(shí)間(單位:分鐘)有如下的統(tǒng)計(jì)資料:

到學(xué)校的距離(千米)

1.8

2.6

3.1

4.3

5.5

6.1

花費(fèi)的時(shí)間(分鐘)

17.8

19.6

27.5

31.3

36.0

43.2

如果統(tǒng)計(jì)資料表明有線性相關(guān)關(guān)系,試求:

(1)判斷是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性?

(相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大于0.75時(shí),認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性,精確到0.01)

(2)求線性回歸方程(精確到0.01);

(3)將分鐘的時(shí)間數(shù)據(jù)稱為美麗數(shù)據(jù),現(xiàn)從這6個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)中任取2個(gè),求抽取的2個(gè)數(shù)據(jù)全部為美麗數(shù)據(jù)的概率.

參考數(shù)據(jù):,,,

參考公式:,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】對(duì)于無(wú)窮數(shù)列,若,,則稱的“收縮數(shù)列”.其中,分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知為無(wú)窮數(shù)列,其前項(xiàng)和為,數(shù)列的“收縮數(shù)列”.

(1)若,求的前項(xiàng)和;

(2)證明:的“收縮數(shù)列”仍是;

(3)若,求所有滿足該條件的.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】菜市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購(gòu)買二手房情況,首先隨機(jī)抽樣其中200名購(gòu)房者,并對(duì)其購(gòu)房面積(單位:平方米,)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì),制成了如圖1所示的頻率分布南方匿,接著調(diào)查了該市2018年1月﹣2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價(jià)(單位:萬(wàn)元/平方米),制成了如圖2所示的散點(diǎn)圖(圖中月份代碼1﹣13分別對(duì)應(yīng)2018年1月至2019年1月).

(1)試估計(jì)該市市民的平均購(gòu)房面積

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購(gòu)房耐積位于的40位市民中隨機(jī)取4人,再?gòu)倪@4人中隨機(jī)抽取2人,求這2人的購(gòu)房面積恰好有一人在的概率.

(3)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇兩個(gè)模型進(jìn)行擬合,經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程,分別為,并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值,如表所示:

請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好,并用擬合效果更好的模型預(yù)測(cè)2019年6月份的二手房購(gòu)房均價(jià)(精確到).

參考數(shù)據(jù):,,,,,,.參考公式:相關(guān)指數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.

(1)設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)瞇,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)到直線的距離的最小值;

(2)若曲線上所有的點(diǎn)都在直線的右下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)若上成立,求的取值范圍.

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【題目】如圖,某隧道的剖面圖是由半圓及矩形組成,交通部門擬在隧道頂部安裝通風(fēng)設(shè)備(視作點(diǎn)),為了固定該設(shè)備,計(jì)劃除從隧道最高點(diǎn)處使用鋼管垂直向下吊裝以外,再在兩側(cè)自兩點(diǎn)分別使用鋼管支撐.已知道路寬,設(shè)備要求安裝在半圓內(nèi)部,所使用的鋼管總長(zhǎng)度為.

(1)①設(shè),將表示為關(guān)于的函數(shù);

②設(shè),將表示為關(guān)于的函數(shù);

(2)請(qǐng)選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,說(shuō)明如何設(shè)計(jì),所用的鋼管材料最省?

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