Question

若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．如果實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足f(lnt)+f(ln

1

t

)≤2f(1)時(shí)，那么t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性性化簡(jiǎn)不等式，然后利用函數(shù)是偶函數(shù)得到不等式f（lnt）≤f（1）．等價(jià)為f（|lnt|）≤f（1），然后利用函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增即可得到不等式的解集．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（lnt）+f（ln

1

t

）=f（lnt）+f（-lnt）=f（lnt）+f（lnt）=2f（lnt），
∴不等式f(lnt)+f(ln

1

t

)≤2f(1)等價(jià)為2f（lnt）≤2f（1），
即f（lnt）≤f（1）．
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴不等式f（lnt）≤f（1）等價(jià)為f（|lnt|）≤f（1）．
即|lnt|≤1，
∴-1≤lnt≤1，
解得

1

e

≤t≤e
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是

1

e

≤t≤e，
故答案為：

1

e

≤t≤e．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)得到f（a）=f（|a|）是解決偶函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵．先利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的突破點(diǎn)．