Question

函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）在x∈（0，7π）內取到一個最大值和一個最小值，且當x=π時，y有最大值3；當x=6π時，y有最小值-3．
（1）求此函數的解析式；
（2）求此函數的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由題意得到A和周期，代入周期公式求ω，在由點（π，3）在此函數圖象上結合φ的范圍求得φ，則函數解析式可求；
（2）直接由復合函數的單調性求函數的單調區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意可知：A=3，

1

2

T=5π，
∴T=10π，
則ω=

2π

T

=

2π

10π

=

1

5

，
∴y=3sin（

1

5

x+φ），
∵點（π，3）在此函數圖象上，
∴3sin(

π

5

+φ)=3，

π

5

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z．
φ=

3π

10

+2kπ，k∈Z．
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

3π

10

．
∴y=3sin（

1

5

x+

3π

10

）；
（2）當-

π

2

+2kπ≤

1

5

x+

3π

10

≤

π

2

+2kπ，即-4π+10kπ≤x≤π+10kπ，k∈Z時，
函數y=3sin（

1

5

x+

3π

10

）單調遞增，
∴函數的單調增區(qū)間為[-4π+10kπ，π+10kπ]（k∈Z）；
當

π

2

+2kπ≤

1

5

x+

3π

10

≤

3π

2

+2kπ，即π+10kπ≤x≤6π+10kπ，k∈Z時，
函數單調遞減，
∴函數的單調減區(qū)間為[π+10kπ，6π+10kπ]（k∈Z）．

點評：本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數圖象的求法，考查了復合函數的單調性的求法，復合函數的單調性滿足“同增異減”的原則，是中檔題．