Question

已知正項數列{a_n}中，其前n項和為S_n，且a_n=2

Sn

-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設T_n是數列{

2

an + an+1

}的前n項和，R_n是數列{

a1a2…an

(a1+1)(a2+1)…(an+1)

}的前n項和，求證：R_n＜T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出a₁=1，

Sn

=

Sn-1

+1，由此能求出a_n=2n-1．
（2）先證：

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＜

2

2n+1 + 2n-1

，只需證

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＜

1

2n+1

，再由累加法能證明R_n＜T_n．

解答： （本題滿分14分）
（1）解：由an=2

Sn

-1，得：
當n=1時，a₁=S₁，且a1=2

S1

-1=2

a1

-1，解得a₁=1．…（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
∴S_n-S_n-1=2

Sn

-1，∴（

Sn

-1）²=S_n-1，
∵正項數列{a_n}，
∴

Sn

=

Sn-1

+1，…（4分）
∴{

Sn

}是首項為1，公差為1的等差數列．
∴

Sn

=n，Sn=n2，
∴a_n=2

Sn

-1=2n-1．…（6分）
（2）證明：先證：

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＜

2

2n+1 + 2n-1

，…（7分）
∵

2

2n-1 + 2n+1

＞

1

2n+1

，
故只需證

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＜

1

2n+1

，…（9分）
[

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

]²
=

1•3

22

•

3•5

42

•

5•7

62

×…×

(2n-1)(2n+1)

(2n)2

•

1

2n+1

＜

1

2n+1

，
∴

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＜

1

2n+1

，…（12分）
∴

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＜

2

2n-1 + 2n+1

．
當n取1，2，…，n時，得到n個不等式，

1

2

＜

2

1+ 3

，

1•3

2•4

＜

2

3 + 5

，
…

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＜

2

2n-1 + 2n+1

．
相加得：

1

2

+

1•3

2•4

+

1•3•5

2•4•6

+

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…×2n

＜

2

1+ 3

+

2

3 + 5

+…+

2

2n-1 + 2n+1

．
∴R_n＜T_n．…（14分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意累加法和放縮法的合理運用．