Question

已知f（x）=

ex-1，x≤0 f(x-1)+1，x＞0

，則方程f（x）-x=0在區(qū)間[0，5）上所有實(shí)根和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于x≤0時(shí)，f（x）=e^x-1，分別求出0＜x≤1，1＜x≤2，2＜x≤3，3＜x≤4，4＜x≤5，時(shí)的函數(shù)f（x）的表達(dá)式，在同一坐標(biāo)系中，畫出y=f（x）（0≤x＜5）的圖象和直線y=x，通過圖象觀察得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，1，2，3，4，故和為10．

解答： 解：由于x≤0時(shí)，f（x）=e^x-1，
當(dāng)0＜x≤1，-1＜x-1≤0，則f（x）=f（x-1）+1
=e^x-1-1+1=e^x-1；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，0＜x-1≤1，f（x）=f（x-1）+1=e^x-2+1；
當(dāng)2＜x≤3，1＜x-1≤2，f（x）=f（x-1）+1=e^x-3+2；
當(dāng)3＜x≤4，2＜x-1≤3，f（x）=e^x-4+3；
當(dāng)4＜x≤5，f（x）=e^x-5+4．
在同一坐標(biāo)系中，畫出y=f（x）（0≤x＜5）的圖象和
直線y=x，
由圖象可知：方程f（x）-x=0在區(qū)間[0，5）上所有實(shí)根為0，1，2，3，4，故和為10．
故答案為：10

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的圖象和方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，是一道中檔題．