Question

如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大��；

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．

解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

連結(jié)，在正方形中，分別為的中點(diǎn)，

，

．

在正方形中，，

平面．

（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．

，

為二面角的平面角．

在中，由等面積法可求得，

又，

．

所以二面角的大小為．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距離為．

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．

由得，

．

點(diǎn)到平面的距離為．

解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?sub>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．

，．

，，

令得為平面的一個法向量．

由（Ⅰ）知平面，

為平面的法向量．

，．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，

    ．

    點(diǎn)到平面的距離．