Question

若函數(shù)y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，則a的取值范圍是

5≤a≤7

．

Answer 1

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)為增函數(shù)得到導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號，列式后解不等式組求解a的范圍．

解答：解：由y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1，得y^′=x²-ax+a-1．
因為函數(shù)y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，
所以y^′=x²-ax+a-1在區(qū)間（1，4）內(nèi)恒小于0，在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)恒大于0，
令g（x）=x²-ax+a-1．
則

g(1)=1-a+a-1≤0 g(4)=16-4a+a-1≤0 g(6)≥=36-6a+a-1≥0

，解得5≤a≤7．
故答案為5≤a≤7．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查了利用二次函數(shù)零點所在的范圍求參數(shù)的值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．