Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
（I）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（II）若函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{3-{2}^{x}}{k}$-1在[-1，1]有零點，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若對于任意a∈[1，3]，不等式f（a²-2algm）+f（2a²-1）＞0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）f（x）的定義域為R，利用奇函數(shù)的定義證明f（x）的奇偶性；
（II）若函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{3-{2}^{x}}{k}$-1在[-1，1]有零點，$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{3-{2}^{x}}{k}$-1=0在[-1，1]有解，分離參數(shù)，即可求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若對于任意a∈[1，3]，不等式f（a²-2algm）+f（2a²-1）＞0，則對于任意a∈[1，3]，a²-2algm＞1-2a²，lgm＜$\frac{1}{2}$（3a-$\frac{1}{a}$），求出右邊的最小值，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（I）f（x）的定義域為R，則：
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
∴函數(shù)是奇函數(shù)；
（II）若函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{3-{2}^{x}}{k}$-1在[-1，1]有零點，則$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{3-{2}^{x}}{k}$-1=0在[-1，1]有解，
∴k=$\frac{1}{2}$（2^x-3）（2^x+1）=$\frac{1}{2}$（2^x-1）²-2，
∵-1≤x≤1，∴$\frac{1}{2}$≤2^x≤2，
∴-2≤k≤-$\frac{3}{2}$；
（Ⅲ）f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是R上的增函數(shù)，
若對于任意a∈[1，3]，不等式f（a²-2algm）+f（2a²-1）＞0，
則對于任意a∈[1，3]，a²-2algm＞1-2a²，
∴l(xiāng)gm＜$\frac{1}{2}$（3a-$\frac{1}{a}$）
∵y=3a-$\frac{1}{a}$在[1，3]上單調(diào)遞增，
∴y_min=1，
∴l(xiāng)gm＜1，
∴0＜m＜10．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．