Question

18．設(shè)a＞0，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$是定義在R上的偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a；
（2）求f（x）在x∈[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意知f（-x）=f（x）恒成立，化簡(jiǎn)可得（$\frac{1}{a}$-a）（2^-x-2^x）=0恒成立，從而解得．
（2）由（1）知，f（x）=2^x+2^-x，從而由x∈[-1，2]可得2^x+2^-x∈[2，$\frac{17}{4}$]．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即$\frac{{2}^{-x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{2}^{x}}$，
化簡(jiǎn)可得，（$\frac{1}{a}$-a）（2^-x-2^x）=0，
故$\frac{1}{a}$-a=0，又∵a＞0；
故a=1；
（2）由（1）知，f（x）=2^x+2^-x，
∵x∈[-1，2]，∴2^x+2^-x∈[2，$\frac{17}{4}$]；
即f（x）在x∈[-1，2]上的值域?yàn)閇2，$\frac{17}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用及恒成立問題的應(yīng)用．