Question

已知在數列{a_n}中，a₁=1，且點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=x+2的圖象上（n∈N^*）．
（1）證明數列{a_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足b_n=

an

3n

，求數列{b_n}的通項公式及其前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=x+2的圖象上，得a_n+1=a_n+2，由此能證明{a_n}是等差數列，并能求出a_n=2n-1．
（2）由（1）知b_n=

an

3n

=

2n-1

3n

，由此利用錯位相減法能求出數列{b_n}的通項公式及其前n項和S_n．

解答： （1）證明：∵點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=x+2的圖象上，
∴a_n+1=a_n+2，
∴a_n+1-a_n=2，∵a₁=1，
∴{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=2n-1．
（2）解：由（1）知b_n=

an

3n

=

2n-1

3n

，
∴S_n=

1

3

+

3

32

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，①

1

3

S_n=

1

32

+

3

33

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，②
①-②得

2

3

S_n=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴Sn=1-

n+1

3n

．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．