Question

設函數f（x）=|2x-2|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）＞6；
（2）若關于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值的代數意義，去掉函數f（x）=|2x-2|+|x+3|中的絕對值符號，求解不等式f（x）＞6，
（2）把關于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，轉化為關于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集非空，求函數f（x）的最小值即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）解：f（x）=

-3x-1(x＜-3) -x+5(-3≤x≤1) 3x+1(x＞1)

①由

-3x-1＞6 x＜-3

，解得x＜-3；
②

-x+5＞6 -3≤x≤1

，解得-3≤x＜-1；
③

3x+1＞6 x＞1

，解得x＞

5

3

；
綜上可知不等式的解集為{x|x＞

5

3

或x＜-1}．
（2）因為f（x）=|2x-2|+|x+3|≥4，
所以若f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，則|2a-1|≥f（x）_min=4，
解得：a≥

5

2

或a≤-

3

2

．．
即a的取值范圍是：a≥

5

2

或a≤-

3

2

．

點評：考查了絕對值的代數意義，去絕對值體現了分類討論的數學思想；根據函數圖象求函數的最值，體現了數形結合的思想．屬中檔題，求解問題（2）體現了轉化的數學思想，屬中檔題．