Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點，點P是橢圓在y軸右側(cè)上的點，且∠F₁PF₂=

π

2

，記線段PF₁與y軸的交點為Q，O為坐標(biāo)原點，若△F₁OQ與四邊形OF₂PQ的面積之比為1：2，則該橢圓的離心率等于

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先利用PF₁與軸的交點為Q，△F₁OQ與四邊形OF₂PQ的面積之比為1：2，點F₁（-c，0），求得點P的坐標(biāo)，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可得關(guān)于a、b、c的等式，從而求得橢圓離心率．

解答： 解：設(shè)Q（0，m），P（x，y）
∵△F₁OQ與四邊形OF₂PQ的面積之比為1：2，
∴△F₁OQ與三角形PF₁F₂的面積之比為1：3
∴

1

2

×c×m=

1

3

×

1

2

×2c×y，∴m=

2

3

y
又∵

y

x+c

=

m

c

∴x=

c

2

，
∵∠F₁PF₂=

π

2

，
∴

y

x+c

×

y

x-c

=-1，
∴y²=

3

4

c2
將x=

c

2

和y²=

3

4

c2代入橢圓方程化簡得e²+

3e2

1-e2

=4，解得e=

3

-1
故答案為：

3

-1．

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，特別是橢圓離心率的求法，利用已知幾何條件建立關(guān)于a、b、c的等式，是解決本題的關(guān)鍵．