Question

設函數(shù)f（x）=lnx，有以下4個命題
①對任意的x₁、x₂∈（0，+∞），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

；
②對任意的x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，有f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁；
③對任意的x₁、x₂∈（e，+∞），且x₁＜x₂有x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）；
④對任意的0＜x₁＜x₂，總有x₀∈（x₁，x₂），使得f（x₀）≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
其中正確的是

 

（填寫序號）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)求解即可．

解答： 解：∵f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴對于①由f（

x1+x2

2

）=ln

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=ln

x1x2

，
∵

x1+x2

2

＞

x1x2

，
故f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

；
故①錯誤．
對于②，∵x₁＜x₂則有f（x₁）＜f（x₂），
故由增函數(shù)的定義得f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁ 故②正確，
對于③由不等式的性質(zhì)得x₁f（x₁）＜x₂f（x₂），故③錯誤；
對于④令1=x₁＜x₂=e²，x₀=e得，f（x₀）＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
 故④錯誤．
故答案為②．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的理解運用能力以及判斷命題真假的方法，如特例法．