Question

函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞），若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，則

x2+2x+a

x

＞1對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立，則a＞-x²-x對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立，令u=-x²-x，則a大于u的最大值．

解答： 解：若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，
則

x2+2x+a

x

＞1對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立，
則a＞-x²-x對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立，
令u=-x²-x，由函數(shù)的圖象為開(kāi)口朝下，且以直線(xiàn)x=-

1

2

為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，
故當(dāng)x=1時(shí)，u取最小值-2，
故a＞-2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-2，+∞），
故答案為：（-2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是恒成立問(wèn)題，其中將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．