Question

（2010•桂林二模）已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）
（Ⅰ）求數(shù)列{

1

an

+（-1）ⁿ}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

an2

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知計(jì)算整理得出

1

an

+（-1）ⁿ=2•（-1）ⁿ-

2

an-1

=-2[

1

an-1

+（-1）^n-1]，可以判定出數(shù)列{

1

an

+（-1）ⁿ}是以-2為公比的等比數(shù)列，再求出首項(xiàng)后，可求出通項(xiàng)公式．
（2）由（1）可得

1

an

=3•（-2）^n-1-（-1）n=（-1）^n-1（3•2^n-1+1），b_n=

1

an2

=9•4 ^n-1+6•2 ^n-1+1．
 利用分組、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算．

解答：解：（1）∵a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N），
∴

1

an

=（-1）ⁿ-

2

an-1

，
∴

1

an

+（-1）ⁿ=2•（-1）ⁿ-

2

an-1

=-2[

1

an-1

+（-1）^n-1]
∴數(shù)列{

1

an

+（-1）ⁿ}是以-2為公比的等比數(shù)列，且首項(xiàng)

1

a1

-1=3．
通項(xiàng)公式

1

an

+（-1）ⁿ=3•（-2）^n-1，
（2）由（1）得

1

an

=3•（-2）^n-1-（-1）n=（-1）^n-1（3•2^n-1+1）
b_n=

1

an2

=9•4 ^n-1+6•2 ^n-1+1．
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=9（1+4+4²+…+4 ^n-1）+6•（1+2+2 ²+…2 ^n-1）+n
=9•

1-4n

1-4

+6•

1-2n

1-2

+n=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判定、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式． 分組、公式法數(shù)列求和．考查變形構(gòu)造、計(jì)算能力．