【題目】雙曲線E: =1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2 , P是E坐支上一點,且|PF1|=|F1F2|,直線PF2與圓x2+y2=a2相切,則E的離心率為

【答案】
【解析】解:設直線PF2與圓x2+y2=a2相切于點M, 則|OM|=a,OM⊥PF2 ,
取PF2的中點N,連接NF1 ,
由于|PF1|=|F1F2|=2c,則NF1⊥PF2 , |NP|=|NF2|,
由|NF1|=2|OM|=2a,
則|NP|=2b,
即有|PF2|=4b,
由雙曲線的定義可得|PF2|﹣|PF1|=2a,
即4b﹣2c=2a,即2b=c+a,
4b2=(c+a)2 , 即4(c2﹣a2)=(c+a)2 ,
4(c﹣a)=c+a,即3c=5a,
則e= =
所以答案是

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