Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足${S_n}=2-（{\frac{2}{n}+1}）{a_n}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）記${b_n}={2^{n-1}}{a_n}$，求$\frac{1}{{{b_1}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_4}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+2}}}}$．

Answer 1

分析 （I）利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（I）∵滿足${S_n}=2-（{\frac{2}{n}+1}）{a_n}（{n∈{N^*}}）$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-（2+1）a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$2-（\frac{2}{n}+1）{a}_{n}$-$[2-（\frac{2}{n-1}+1）{a}_{n-1}]$，化為$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{1}{2}•\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n}}$．
（Ⅱ）${b_n}={2^{n-1}}{a_n}$=$\frac{n}{2}$．
∴$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{4}{n（n+2）}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴$\frac{1}{{{b_1}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_4}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+2}}}}$=$2[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=2$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=3-$\frac{4n+6}{{n}^{2}+3n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．