Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，$\sqrt{3}$cosx），f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1．
（1）求當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，f（x）的值域；
（2）若對任意$x∈[0，\frac{π}{2}]$和任意$α∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$，$k•\sqrt{1+sin2α}-sin2α≤f（x）+1$恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步變函數(shù)為正弦型函數(shù)，最后求出單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)與的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步利用恒成立問題，求出k的取值范圍

解答 解：由已知f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1=2（cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx）+1=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2；
所以（1）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，所以f（x）的值域[1，4]；
（2）對任意$x∈[0，\frac{π}{2}]$和任意$α∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$，$k•\sqrt{1+sin2α}-sin2α≤f（x）+1$恒成立，
即k|sinα+cosα|-sin2α≤f（x）+1恒成立，又f（x）+1的最小值為2，
所以只要k|sinα+cosα|≤2+sin2α，
所以k≤|sinα+cosα|+$\frac{1}{|sinα+cosα|}$，又$α∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$，
所以|sinα+cosα|∈[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$]，
|sinα+cosα|+$\frac{1}{|sinα+cosα|}$∈[$\frac{5\sqrt{6}}{6}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]
所以k≤$\frac{5\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，向量的坐標(biāo)運算，正弦型函數(shù)的值域，恒成立問題的應(yīng)用，屬于中檔題．