已知橢圓的一個焦點為，且離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點，為直線上的一點，若△為等邊三角形，求直線的方程.

（1）；（2）直線的方程為，或.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、韋達定理、兩點間距離公式、直線的方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系，焦點坐標(biāo)，離心率列出方程組，解出a和b，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，點斜式設(shè)出直線方程，由于直線與橢圓交于A，B，則直線與橢圓方程聯(lián)立消參得到關(guān)于x的方程，設(shè)出A，B點坐標(biāo)，利用韋達定理，得到，，再結(jié)合兩點間距離公式求出的長，利用中點坐標(biāo)公式得出AB中點M的坐標(biāo)，從而求出|MP|的長，利用為正三角形，則，列出等式求出k的值，從而得到直線的方程.
（1）依題意有，．
可得，．
故橢圓方程為．                  ５分
（2）直線的方程為．
聯(lián)立方程組
消去并整理得．　　　
設(shè)，．
故，．
則．
設(shè)的中點為．
可得，．
直線的斜率為，又 ，
所以．
當(dāng)△為正三角形時，，
可得，
解得．         
即直線的方程為，或．            13分
考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、韋達定理、兩點間距離公式、直線的方程.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點．
（1）求橢圓的方程及其離心率；
（2）過橢圓右焦點的直線（不經(jīng)過點）與橢圓交于兩點，當(dāng)的平分線為 時，求直線的斜率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（14分）（2011•廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x=﹣2交x軸于點A，設(shè)P是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO=∠AOP．
（1）當(dāng)點P在l上運動時，求點M的軌跡E的方程；
（2）已知T（1，﹣1），設(shè)H是E上動點，求|HO|+|HT|的最小值，并給出此時點H的坐標(biāo)；
（3）過點T（1，﹣1）且不平行與y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直線l1的斜率k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

過拋物線C：上的點M分別向C的準(zhǔn)線和x軸作垂線，兩條垂線及C的準(zhǔn)線和x軸圍成邊長為4的正方形，點M在第一象限.
（1）求拋物線C的方程及點M的坐標(biāo)；
（2）過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與拋物線C交于A，B兩點，如果點M在直線AB的上方，求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，原點為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動弦．
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點坐標(biāo);
(2)若,求證：直線恒過定點；
(3)當(dāng)時，設(shè)圓,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的方程為，直線的方程為，點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）已知，求過點及拋物線與軸兩個交點的圓的方程；
（3）已知，點是拋物線的焦點，是拋物線上的動點，求的最小值及此時點的坐標(biāo)；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（2011•山東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x=﹣3于點D（﹣3，m）．
（1）求m2+k2的最小值；
（2）若|OG|2=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過定點；
（ii）試問點B，G能否關(guān)于x軸對稱？若能，求出此時△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

長方形中，，．以的中點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．

(1) 求以、為焦點，且過、兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 過點的直線交(1)中橢圓于兩點，是否存在直線，使得以線段為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案