Question

13．已知定義在R上的函數(shù)$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）+1，h（x）=lnx
①判斷g（x）的單調(diào)性并說明理由；
②若g（s）=h（t），求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用定義在R上的函數(shù)$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函數(shù)，求a，b的值；
（Ⅱ）①g（x）=f（x）+1，確定解析式，可得結(jié)論；
②確定0＜g（s）＜1，利用g（s）=h（t），求t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1）
∴$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+a}$=-$\frac{1-2}{2+a}$，解之得a=1
經(jīng)檢驗當a=1且b=1時，f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，滿足f（-x）=-f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）①g（x）=f（x）+1=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+1=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵y=2^x+1單調(diào)遞增，
∴g（x）在R上單調(diào)遞減；
②∵2^s＞1，
∴2^s+1＞2，
∴0＜g（s）＜1，
∴0＜lnt＜1，
∴1＜t＜e．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．