Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜-1的解集；
（2）若不等式f（x）≤a|x-2|對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得，|x+1|-|2x-1|≤a|x-2|恒成立，即a≥|$\frac{x+1}{x-2}$|-|$\frac{2x-1}{x-2}$|=|1+$\frac{3}{x-2}$|-|2+$\frac{3}{x-2}$|，利用絕對(duì)值三角不等式求得|1+$\frac{3}{x-2}$|-|2+$\frac{3}{x-2}$|的最大值，可得a的范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）＜-1，即$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{x-2＜-1}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x＜-1}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2-x＜-1}\end{array}\right.$．
解①求得x＜-1；解②求得-1≤x＜-$\frac{1}{3}$，解③求得x＞3，
故不等式的解集為{x|x＜-$\frac{1}{3}$ 或x＞3}．
（2）若不等式f（x）≤a|x-2|對(duì)任意的x∈R恒成立，即|x+1|-|2x-1|≤a|x-2|恒成立，
a≥|$\frac{x+1}{x-2}$|-|$\frac{2x-1}{x-2}$|=|1+$\frac{3}{x-2}$|-|2+$\frac{3}{x-2}$|，
而|1+$\frac{3}{x-2}$|-|2+$\frac{3}{x-2}$|≤|（1+$\frac{3}{x-2}$）-（2+$\frac{3}{x-2}$）|=1，
∴a≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，絕對(duì)值三角不等式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．