Question

小華參加學(xué)校創(chuàng)意社團(tuán)，上交一份如圖所示的作品：邊長(zhǎng)為2的正方形中作一內(nèi)切圓⊙O，在⊙O內(nèi)作一個(gè)關(guān)于正方形對(duì)角線對(duì)稱的內(nèi)接“十”字形圖案．OA垂直于該“十”字形圖案的一條邊，點(diǎn)P為該邊上的一個(gè)端點(diǎn)．記“十”字形圖案面積為S，∠AOP=θ．試用θ表示S，并由此求出S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由題意可得OP=1，PA=sinθ，OA=cosθ，十字形面積S=2cosθ×2sinθ+2×2sinθ×（cosθ-sinθ）=2

5

sin(2θ+φ)-2，再根據(jù)θ∈（0，

π

4

），利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得S的最大值．

解答： 解：∵正方形邊長(zhǎng)為2，
∴OP=1，PA=sinθ，OA=cosθ，
故十字形面積S=2cosθ×2sinθ+2×2sinθ×（cosθ-sinθ）
=8sinθcosθ-4sin²θ（θ∈（0，

π

4

）），
即 S=4sin2θ-2（1-cos2θ），
=4sin2θ+2cos2θ-2=2

5

(

2

5

sinθ+

1

5

cosθ)-2=2

5

sin(2θ+φ)-2，
其中cosφ=

2

5

，sinφ=

1

5

，θ∈（0，

π

4

），
∴當(dāng)2θ+φ=

π

2

時(shí)，S取最大，最大值為2

5

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換，求三角函數(shù)的最大值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．