Question

已知直線x=my+1過橢圓C：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞b＞0）的右焦點F₂，且交橢圓于A，B兩點，已知橢圓的離心率為方程2x²+x-1=0的實根，F(xiàn)₁為橢圓的左焦點，
（1）求證：△F₁AB的周長為定值，并求出定值；
（2）當△F₁AB的內切圓半徑最大時，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）解方程2x²+x-1=0，得橢圓C：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

c

a

=

1

2

，由直線x=my+1過橢圓C：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞b＞0）的右焦點F₂，得k=1，由此能求出△F₁AB的周長為定值，定值為8．
（2）△F₁AB的內切圓半徑最大時，|AF₂|=|BF₂|，由此能求出m=0．

解答： （1）證明：解方程2x²+x-1=0，得x₁=-1，x 2=

1

2

，
由題意知橢圓C：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

c

a

=

1

2

，
∴a=2k，b=

3

k，c=k，（k＞0），∴F₂（k，0），
∵直線x=my+1過橢圓C：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞b＞0）的右焦點F₂，
∴k=1，∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
∴△F₁AB的周長L=4a=8，
∴△F₁AB的周長為定值，定值為8．
（2）解：△F₁AB的內切圓半徑最大時，
|AF₂|=|BF₂|，
此時直線方程為x=my+1=1，
解得m=0．

點評：本題考查三角形周長為定值的證明，考查三角形內切圓半徑最大時實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．