Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，對任意a，b∈（0，+∞）都有f（

a

b

）=f（a）-f（b），
（1）求證：f（ab）=f（a）+f（b）；
（2）若當x＞1時，f（x）＞0，求證：函數(shù)y=f（x）在定義域上為增函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用賦值法，分別令a=b=1，求得f（1）=0，再令b=

1

b

，問題得證．
（2）利用單調(diào)性的定義證明即可．

解答： 證明（1）：∵f（

a

b

）=f（a）-f（b），
令a=b=1，
則f（1）=f（1）-f（1），
∴f（1）=0
 再令b=

1

b

，
∴f（ab）=f（a）-f（

1

b

）=f（a）-f（1）+f（b）=f（a）+f（b）；
即問題得證．
（2）證明：∵對x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，有

x2

x1

＞1，
又x＞1時，f（x）＞0，
∴f（

x2

x1

）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0
故函數(shù)y=f（x）在定義域上為增函數(shù)．

點評：本題考查的是抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識的綜合應用問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了抽象函數(shù)特值的思想、函數(shù)單調(diào)性以及問題轉(zhuǎn)化的思想．