Question

已知函數(shù)f(x)=2

x+2

-x，g（x）=x²-2mx+5m-2（m∈R），對于任意的x₁∈[-2，2]，總存在x₂∈[-2，2]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：綜合題

分析：先求出函數(shù)f（x）的值域A，設函數(shù)g（x）的值域為B，討論m的取值，求出g（x）的值域，根據(jù)題意，有A⊆B，由數(shù)集的概念，求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2

x+2

-x=2

x+2

-（x+2）+2=3-(

x+2

-1)2，
∴當x∈[-2，2]時，2≤f（x）≤3，
∴f（x）的值域是[2，3]；
（2）又當x∈[-2，2]時，
①若m＜-2，則g（x）=x²-2mx+5m-2在[-2，2]上是增函數(shù)，最小值g（-2）=9m+2，最大值g（2）=3m+2；
∴g（x）的值域是[9m+2，3m+2]，
∴[2，3]⊆[9m+2，3m+2]，
即

9m+2≤2 3m+2≥3

，∴無解；
②若m＞2，則g（x）=x²-2mx+5m-2在[-2，2]上是減函數(shù)，最小值g（2）=3m+2，最大值g（-2）=9m+2；
∴g（x）的值域是[3m+2，9m+2]，
∴[2，3]⊆[3m+2，9m+2]，
即

3m+2≤2 9m+2≥3

，∴無解；
③若-2≤m≤2，則g（x）=x²-2mx+5m-2在[-2，2]上是先減后增的函數(shù)，
最小值是g（m）=-m²+5m-2，最大值是max{g（-2），g（2）}=max{9m+2，3m+2}；
∴當m≥0時，g（x）的值域是[-m²+5m-2，9m+2]，
∴[2，3]⊆[-m²+5m-2，9m+2]，
即

-m2+5m-2≤2 9m+2≥3

，
解得

1

9

≤m≤1，或m≥4（不符合條件，舍去）；
∴取

1

9

≤m≤1；
當m＜0時，g（x）的值域是[-m²+5m-2，3m+2]，
∴[2，3]⊆[-m²+5m-2，3m+2]，
即

-m2+5m-2≤2 3m+2≥3

；
解得

1

3

≤m≤1，或m≥，不符合條件，舍去；
綜上，實數(shù)m的取值范圍是：[

1

9

，1]．
故答案為：[

1

9

，1]．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題、不等式的解法等基礎知識，考查了運算求解的能力以及化歸與轉化思想，是綜合性題目．