Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3，離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l：x-my+1=0與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，與x軸交于點(diǎn)D，且滿足$\overrightarrow{DA}$=λ$\overrightarrow{DB}$，若$-\frac{1}{2}$≤λ＜$-\frac{1}{3}$，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的性質(zhì)可知：$\left\{\begin{array}{l}a+c=3\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得a和c的值，由b²=a²-c²=3，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得：${y_1}+{y_2}=\frac{6m}{{3{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$，$\overrightarrow{DA}$=λ$\overrightarrow{DB}$，根據(jù)向量的坐標(biāo)坐標(biāo)，（x₁+1，y₁）=λ（x₂+1，y₂），求得$-\frac{{4{m^2}}}{{3{m^2}+4}}=λ+\frac{1}{λ}+2$，由$-\frac{1}{2}≤λ＜-\frac{1}{3}$，代入即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由已知$\left\{\begin{array}{l}a+c=3\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=1\end{array}\right.$，
所以b²=a²-c²=4-1=3，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．（4分）
（2）由已知D（-1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}x-my+1=0\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，
消x得（3m²+4）y²-6my-9=0，
由韋達(dá)定理得：${y_1}+{y_2}=\frac{6m}{{3{m^2}+4}}$ ①${y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$ ②
因?yàn)?\overrightarrow{DA}=λ\overrightarrow{DB}$，
所以（x₁+1，y₁）=λ（x₂+1，y₂），
所以y₁=λy₂=3③，將③代入①②，$（λ+1）{y_2}=\frac{6m}{{3{m^2}+4}}$，$λy_2^2=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$，
消去y₂得$\frac{{{{（λ+1）}^2}}}{λ}=-\frac{{4{m^2}}}{{3{m^2}+4}}$，
所以$-\frac{{4{m^2}}}{{3{m^2}+4}}=λ+\frac{1}{λ}+2$．（9分）
因?yàn)?-\frac{1}{2}≤λ＜-\frac{1}{3}$，
所以$-\frac{4}{3}＜λ+\frac{1}{λ}+2≤-\frac{1}{2}$，即-$\frac{4}{3}$＜-$\frac{4{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$≤-$\frac{1}{2}$，
解得${m^2}≥\frac{4}{5}$，
所以$m≥\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$或m≤-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)表示，不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．