Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，是的中點(diǎn)，將沿折起得到圖（二），點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）若，二面角為，點(diǎn)為中點(diǎn)，求二面角余弦值的平方.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）根據(jù)，證得平面，從而證得平面平面.（2）以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算和的法向量，計(jì)算出二面角余弦值的平方.

證明：（1）在圖（一）梯形中，

∵是的中點(diǎn)，，，

∴，.

∴四邊形為平行四邊形.

又∵，∴，

在圖（二）中，∵，，平面，平面，

∴平面，

又∵平面，∴平面平面.

解：（2）由及條件關(guān)系，得，

由（1）的證明可知，，

∴為二面角的平面角，

∴，

由（1）的證明易知平面平面，且交線為，

∴在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線垂直于，

則平面，

∴，，兩兩相互垂直，

∴分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

∵為中點(diǎn)，

∴，

，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

則 ，

即，

令，則，，

∴，

而平面的一個(gè)法向量，

∴ ，

∴.