【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C， AB=3，BC=5.

（1）求證：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）求點(diǎn)C到平面的距離.

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接轉(zhuǎn)化成平面ABC⊥平面AA1C1C. (2)利用空間向量法求二面角A1-BC1-B1的余弦值. (3)利用空間向量法求點(diǎn)C到平面的距離.

試題解析：

證明：（1）因?yàn)?/span>為正方形，所以.

因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C ，所以⊥平面ABC.

（2）由（1）知， ⊥AC, ⊥AB.

由題意知，所以.

如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則.

設(shè)平面的法向量為，則即

令，則，所以.

同理可得，平面的法向量為.

所以.

由題知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為.

（3）由（2）知平面的法向量為，

所以點(diǎn)C到平面距離.

練習(xí)冊系列答案
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（2）證明：.

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(1)求橢圓的離心率;

(2) 設(shè)點(diǎn)C、D、F2分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)以及右焦點(diǎn)，E 為線段OD 的中點(diǎn)，直線F2E 與橢圓 相交于M、N 兩點(diǎn)，若，求橢圓的方程.

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【題目】為了展示中華漢字的無窮魅力，傳遞傳統(tǒng)文化，提高學(xué)習(xí)熱情，某校開展《中國漢字聽寫大會》的活動(dòng)．為響應(yīng)學(xué)校號召，2（9）班組建了興趣班，根據(jù)甲、乙兩人近期8次成績畫出莖葉圖，如圖所示，甲的成績中有一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字模糊，在莖葉圖中用表示．（把頻率當(dāng)作概率）．

（1）假設(shè)，現(xiàn)要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度，你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加比較合適？

（2）假設(shè)數(shù)字的取值是隨機(jī)的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．

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（2）求證： 是上的增函數(shù)；

（3）若對于區(qū)間上的每一個(gè)值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】把單位正方體的六個(gè)面分別染上6種顏色，并畫上個(gè)數(shù)不同的金雞，各面的顏色與雞的個(gè)數(shù)對應(yīng)如表：

面上所染顏色

紅

黃

藍(lán)

青

紫

綠

該面上的金雞個(gè)數(shù)

1

2

3

4

5

6

取同樣的4個(gè)上述的單位正方體拼成一個(gè)如圖所示的水平放置的長方體.則這個(gè)長方體的下底面總計(jì)畫有______個(gè)金雞

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（1）若y1=d=3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若 +λ = ，求證：直線AB的斜率的平方為定值．

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