Question

從x軸上一點A分別向函數(shù)f（x）=-x³與函數(shù)g（x）=

2

|x|3+x3

引不是水平方向的切線L₁和L₂分別與y軸相交于點B和點C，O為坐標(biāo)原點，記△OAB的面積為S₁，△OAC的面積為S₂，則S₁+S₂的最小值為

 

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義,不等式的綜合

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)點A（a，0），點B（0，b）和點C（0，c）．對函數(shù)求導(dǎo)，求切線方程．利用不等式求最值．

解答： 解：設(shè)點A（a，0），點B（0，b）和點C（0，c）．
g（x）=

2

|x|3+x3

=

1

x3

=x^-3（x＞0），
則g′（x）=-3x^-4；
設(shè)切線L₂與函數(shù)g（x）的圖象相切于點（m，m^-3）
則y-m^-3=-3m^-4（x-m）；
即y═-3m^-4x+4m^-3；
代入（a，0）得，
0=-3m^-4a+4m^-3；
則m=

3a

4

（a＞0），
則c=4m^-3=4（

3a

4

）^-3  
同理，b=（

3a

2

）³
則S₁+S₂=

1

2

（4（

3a

4

）^-3+2（

3a

2

）³）a
=

128

27a2

+

27a4

8

=

64

27a2

+

64

27a2

+

27a4

8

≥3

3	64 27a2 64 27a2 27a4 8

=3•

3	64•64•27 27•27•8

=3•

8

3

=8
（當(dāng)且僅當(dāng)

64

27a2

=

27a4

8

，即a=

2 2

3

時，等號成立）

點評：本題考查了函數(shù)切線的求法，及不等式的應(yīng)用，相對化簡較難，計算量比較大，做題一定要細致．