Question

8．橢圓$\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1$的焦點為F₁，F(xiàn)₂，點P是橢圓上的動點，當∠F₁PF₂為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍是$（-\frac{{\sqrt{65}}}{3}，\frac{{\sqrt{65}}}{3}）$．

Answer 1

分析 設P（x，y），則$\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1$，可得y²=4$（1-\frac{{x}^{2}}{13}）$．由于∠F₁PF₂為鈍角，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0，解出即可．

解答 解：由橢圓的標準方程可得：a²=13，b=2，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=3．
F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）．
設P（x，y），則$\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1$，
∴y²=4$（1-\frac{{x}^{2}}{13}）$．
∵∠F₁PF₂為鈍角，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（x+3，y）•（x-3，y）=x²-9+y²＜0，
∴x²-9+4$（1-\frac{{x}^{2}}{13}）$＜0．
化為x²$＜\frac{65}{9}$，
解得$-\frac{\sqrt{65}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{65}}{3}$．
∴點P的橫坐標的取值范圍是$（-\frac{{\sqrt{65}}}{3}，\frac{{\sqrt{65}}}{3}）$，
故答案為：$（-\frac{{\sqrt{65}}}{3}，\frac{{\sqrt{65}}}{3}）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、向量夾角公式與數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．