Question

18．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．用向量方法證明與解答：
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）試判斷在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得直線PF與AD所成角為60°，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD=N，連接NE，利用向量法能證明AM∥平面BDF．
（2）設(shè)P（t，t，0），（0≤t≤$\sqrt{2}$），由PF和AD所成的角是60°，利用向量法能求出在線段AC上中點(diǎn)P，使得直線PF與AD所成角為60°．

解答 （1）證明：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
∴以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AC∩BD=N，連接NE，
則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）、（0，0，1），
∴$\overrightarrow{NE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
A、M坐標(biāo)分別是（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$）、（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，1$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{NE}$=$\overrightarrow{AM}$，且NE與AM不共線，∴NE∥AM．
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDF．
（2）解：在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得直線PF與AD所成角為60°．
理由如下：
設(shè)P（t，t，0），（0≤t≤$\sqrt{2}$），得$\overrightarrow{PF}$=（$\sqrt{2}-t，\sqrt{2}-t，1$），
∴$\overrightarrow{DA}$=（0，$\sqrt{2}$，0），
又∵PF和AD所成的角是60°．
∴cos60°=$\frac{|（\sqrt{2}-t）•\sqrt{2}|}{\sqrt{（\sqrt{2}-t）^{2}+（\sqrt{2}-t）^{2}+1}•\sqrt{2}}$，
解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或t=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（舍去），即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．