Question

6．設(shè)P為曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的任意一點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ-2sinθ）=15，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ-2sinθ）=15，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．設(shè)P（8cosθ，3sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式、和差公式與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ-2sinθ）=15，可得直角坐標(biāo)方程：x-2y-15=0．
設(shè)P（8cosθ，3sinθ），則$\frac{|8cosθ-6sinθ-15|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|10sin（θ-φ）+15|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ-φ）=-1時(shí)取等號(hào)．
則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值是$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離公式、和差公式與三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．