(1)試求橢圓的方程;
(2)過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(diǎn)(如圖所示),試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值.
(文)已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx,b、c∈R,且函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減.
(1)若b=-2,求c的值;
(2)求證:c≥3;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=f′(x),當(dāng)x∈[-1,3]時(shí),g(x)的最小值是-1,求b、c的值.
解:(1)由題意,||=2c=2,
∴A(a2,0).
∵,
∴F2為AF1的中點(diǎn).
∴a2=3,b2=2,
即橢圓方程為=1.
(2)當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí),|DE|=2,
此時(shí)|MN|=2a=,四邊形DMEN的面積為=4.
同理當(dāng)MN與x軸垂直時(shí),也有四邊形DMEN的面積為=4.
當(dāng)直線DE、MN均與x軸不垂直時(shí),
設(shè)DE:y=k(x+1),
代入橢圓方程,消去y得
(2+3k2)x2+6k2x+(3k2-6)=0.
設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),
則
∴|x1-x2|=.
∴|DE|=|x1-x2|=.
同理,|MN|=.
∴四邊形的面積
S=.
令u=k2+,得S=,
∵u=k2+≥2,
當(dāng)k=±1時(shí),u=2,S=,且S是以u(píng)為自變量的增函數(shù),
∴≤S<4.
綜上,可知四邊形DMEN面積的最大值為4,最小值為.
(文)解:(1)由已知可得f′(1)=0,
又f′(x)=x2+2bx+c,
∴f′(1)=1+2b+c=0.
將b=-2代入,可得c=3.
(2)證明:由(1)可知b=,代入f′(x)可得f′(x)=x2-(c+1)x+c.
令f′(x)=0,則x1=1,x2=c,
又當(dāng)-1<x<1時(shí),f′(x)≥0;
當(dāng)1<x<3時(shí),?f′(x)≤0.
如圖所示.
易知c≥3.
(3)若1≤-b≤3,則
g(x)min=g(-b)=b2-2b2+c=-1.
又1+2b+c=0,得b=-2或b=0(舍),c=3.
若-b≥3,則g(x)min=g(3)=9+6b+c=-1,
又1+2b+c=0,得b=(舍).
綜上所述,b=-2,c=3.
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設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P(a,b)滿足|PF2|=|F1F2|.
(1)求橢圓的離心率e;
(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).若直線PF2與圓(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=|AB|,求橢圓的方程.
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設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若·+·=8,求k的值.
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設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-2,0),左準(zhǔn)線l1與x軸交于點(diǎn)N(-3,0),過點(diǎn)N且傾斜角為30°的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)求直線l和橢圓的方程;
(2)求證:點(diǎn)F1(-2,0)在以線段AB為直徑的圓上.
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