Question

9．已知f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+2）
（1）寫出當(dāng)a=3時，f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單凋遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=3時，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x²-3x+2），令t=x²-3x+2，則y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t，結(jié)合二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，及復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單凋遞減，則t=x²-ax+2在（2，+∞）上單凋遞增，且恒為正，進而得到答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x²-3x+2），
由x²-3x+2＞0得：x∈（-∞，1）∪（2，+∞），
令t=x²-3x+2，則y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t，
∵t=x²-3x+2在（-∞，1）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，
y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，
故f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+2）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（2，+∞）；
（2）函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單凋遞減，
則t=x²-ax+2在（2，+∞）上單凋遞增，且恒為正，
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}≤2\\ 6-2a≥0\end{array}\right.$，解得：a∈（-∞，3]．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．