Question

8．已知log${\;}_{\frac{1}{2}}$a＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$b，則下列不等式一定成立的是（　�。�

• A． ${（\frac{1}{4}）^a}＜{（\frac{1}{4}）^b}$
• B． $\frac{1}{a}＞\frac{1}$
• C． ln（a-b）＞0
• D． 3^a-b＜1

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出a＞b＞0；利用指數(shù)函數(shù)y=${（\frac{1}{4}）}^{x}$與冪函數(shù)y=x^b的單調(diào)性判斷A正確，
利用作差法判斷B錯(cuò)誤，利用分類討論法判斷C錯(cuò)誤，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯(cuò)誤．

解答 解：∵y=${log}_{\frac{1}{2}}$x是定義域上的減函數(shù)，且${log_{\frac{1}{2}}}a＜{log_{\frac{1}{2}}}b$，
∴a＞b＞0；
又∵y=${（\frac{1}{4}）}^{x}$是定義域R上的減函數(shù)，
∴${（\frac{1}{4}）}^{a}$＜${（\frac{1}{4}）}^$；
又∵y=x^b在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴${（\frac{1}{4}）}^$＜${（\frac{1}{3}）}^$；
∴${（\frac{1}{4}）}^{a}$＜${（\frac{1}{3}）}^$，A正確；
∵$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$=$\frac{b-a}{ab}$＜0，∴$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}$，B錯(cuò)誤；
當(dāng)1＞a-b＞0時(shí)，ln（a-b）＞0，
當(dāng)a-b≥1時(shí)，ln（a-b）≤0，∴C錯(cuò)誤；
∵a-b＞0，∴3^a-b＞1，D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了作差法與分類討論思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．